作为轨迹规划和最优控制领域的经典理论问题，高阶积分链系统在全状态框约束下的时间最优控制受到广泛研究，并在集成电路制造、机器人、数控等方面有重要意义。已有研究通常认为，时间最优轨迹为分段多项式表征的“S型轨迹”，即：给定初始状态出发，在最短时间内到达最大匀速阶段，随后保持最大速度，在接近终点时在最短时间内从最大速度状态转移至给定终端状态。通过构造这种S型轨迹，目前已有方法能够求得三阶及以下问题的最优解；延续S型轨迹的思路进行深入研究，能够实现四阶及以上问题的近优解，而求取四阶及以上问题的严格最优解仍是国际理论难题。

近日，清华大学机械系胡楚雄教授课题组发现并证明了四阶及以上高阶积分链系统框约束下时间最优轨迹中颤振(chattering)的存在性，并给出了全状态约束下的四阶问题严格最优解，其中颤振是指最优控制问题数学本质诱导的最优控制量在有限时间内切换无穷多次。该研究指出，此前广泛认为的时间最优、切换次数有限的S型轨迹中，最大匀速阶段两端的加速度、加加速度等各阶导为零，这导致其高阶惯性未能被充分利用，阻碍了轨迹时间的进一步优化。该研究证明了严格的最优轨迹含有颤振特征，由总时间有限的无穷多段多项式分段组成，利用无穷多次切换来避免高阶惯性的浪费，保证严格的理论时间最优性。此外，研究工作建立了全状态框约束下积分链系统时间最优控制的专用颤振理论工具，克服了所研究问题中Hamilton量无穷阶奇异导致的Lagrange流形等经典颤振工具难以直接应用的困难。该研究挑战了传统“切换次数有限的S型轨迹具备时间最优性”的认知并提出了新的理论诠释，有助于在高轨迹光滑性和跟踪精度的工业场景下提升工艺效率。

图1.传统时间近优S型轨迹与所给出时间最优轨迹

图2. 四阶问题最优解的颤振模态

该成果以长文形式，以“全状态约束下高阶积分链系统时间最优控制中的颤振现象” (Chattering Phenomena in Time-Optimal Control for High-Order Chain-of-Integrator Systems with Full State Constraints)为题，在线发表于控制领域国际顶级期刊《IEEE自动控制汇刊》(IEEE Transactions on Automatic Control)。

清华大学机械系胡楚雄教授为论文通讯作者，2022级博士生王煜楠为论文第一作者。

论文链接：https://ieeexplore.ieee.org/document/10876212

撰稿：王煜楠

编辑：张琪琪

审核：熊卓、瞿体明